حل متتالية حسابية

التسلسل الحسابي هو أي قائمة أرقام تختلف عن التالي بمقدار ثابت. على سبيل المثال: سلسلة من الأرقام الزوجية { displaystyle 0،2،4،6،8}… متتالية حسابية لأن الفرق بين كل حد دائمًا هو 2.[١] عند التعامل مع المتتاليات الحسابية ، يُطلب منك أحيانًا العثور على المصطلح التالي في تسلسل معين ، أو يُطلب منك ملء فراغ إذا كان أحد المصطلحات مفقودًا. على سبيل المثال ، يمكنك أيضًا تعلم الحد المائة دون كتابة 100 مصطلح واحدًا تلو الآخر. هناك بعض الخطوات البسيطة التي يمكن أن تساعدك في حل كل حالة من الحالات السابقة.

طريقة 1

أوجد الحد التالي في متتالية حسابية

1. واحد

   أوجد الاختلاف العام من أجل الاتساق. في بعض الأحيان يكون من السهل إخبارك أن قائمة الأرقام التي تتعامل معها عبارة عن تسلسل حسابي ، بينما تحتاج في أحيان أخرى إلى معرفة ذلك بنفسك. الخطوة الأولى هي نفسها في كلتا الحالتين. انظر إلى أول حدين متتاليين في القائمة واطرح الأول من الثاني ؛ هذه النتيجة هي سمة مشتركة في السلسلة.[٢]

   • على سبيل المثال: افترض أنك تتعامل مع قائمة { displaystyle 1،4،7،10،13}… (displaystyle 4-1) لإيجاد الفرق العام 3.
   • افترض أن التسلسل الحسابي يتناقص ، على سبيل المثال { displaystyle 25،21،17،13}… لا يزال بإمكانك طرح الحد الأول من الثاني لإيجاد الفرق الكلي. في هذه الحالة ، تبدو العملية كما يلي: { displaystyle 21-25 = -4}تعني هذه النتيجة السلبية أن قائمتك تتناقص كلما قرأت من اليسار إلى اليمين. يجب عليك دائمًا التحقق مما إذا كانت الشارة تتوافق مع الاتجاه الذي تتحرك فيه الأرقام.

2. 2

   تأكد من تصحيح الاختلاف الكلي. لا يمكنك التأكد من أن قائمة الأرقام هي متوالية حسابية بمجرد إيجاد الفرق بين أول حدين ، بل عليك أن تعرف أن الفرق ثابت في جميع أنحاء القائمة.[٣] تحقق من الفرق بطرح حدين متتاليين من أي مكان في القائمة ، وإذا وافقت النتيجة عند طرح زوجين آخرين أو أكثر من الأرقام ، فمن المرجح أن تكون متتالية حسابية.

   • باستخدام نفس المثال ، { displaystyle 1،4،7،10،13}… حدد المصطلحين الثاني والثالث من القائمة لطرح { displaystyle 7-4}، وستجد أن الفرق لا يزال 3. للتأكد ، تحقق من المثال الآخر واطرح { displaystyle 7-4}؛ يكون الاختلاف دائمًا 3. هنا يمكنك التأكد تمامًا من أنك تتعامل مع متتالية حسابية.
   • قد تبدو قائمة الأرقام كسلسلة حسابية بناءً على الاختلاف بين أعضائها الأوائل ، ولكن بعد ذلك تظهر الفرق فيها. على سبيل المثال ، لنلقِ نظرة على قائمة الأرقام { displaystyle 1،2،3،6،9}… الفرق بين المصطلحين الأول والثاني هو 1 ، والفرق بين المصطلحين الثاني والثالث هو أيضًا 1. ومع ذلك ، فإن الفرق بين المصطلحين الثالث والرابع هو 3. نظرًا لأن الاختلاف ليس ثابتًا في جميع أنحاء القائمة ، هذا ليس تسلسل حسابي.

3. 3

   أضف إجمالي الفرق إلى آخر حد مبين. من السهل العثور على العضو التالي في متتالية حسابية ، مع معرفة الفرق الكلي ؛ كل ما عليك فعله هو إضافة أوامر عامة إلى العنصر الأخير في القائمة وستحصل على الرقم التالي.

   • على سبيل المثال: لإيجاد الرقم التالي في مثالنا { displaystyle 1،4،7،10،13}… ، أضف فرق إجمالي قدره 3 إلى الحد الأخير ؛ ستجد إضافة ( displaystyle 13 + 3) إنه يساوي 16 ، هذا هو الحد التالي. يمكنك الاستمرار في جمع 3 لتوسيع قائمتك كما يحلو لك. على سبيل المثال ، ستكون القائمة ( displaystyle 1،4،7،10،13،16،19،22،25)… يمكنك الاستمرار في القيام بذلك لجعله بالطول الذي تريده.

الطريقة الثانية

أوجد الحد المفقود في منتصف المتتابعة

1. واحد

   تأكد من بدء حل المتتالية الحسابية. في بعض الحالات ، لديك قائمة أرقام بها حد مفقود في المنتصف. ابدأ – كما فعلنا من قبل – بالتحقق من أن القائمة عبارة عن تسلسل حسابي. حدد أي فترتين متتاليتين وابحث عن الفرق بينهما ، ثم أكد هذا الاختلاف بعبوتين متتاليتين في التسلسل. إذا كانت الأوامر هي نفسها ، فيمكنك افتراض أنك تعمل باستخدام تسلسل حسابي والانتقال إلى الخطوة التالية.

   • على سبيل المثال: في التسلسل { displaystyle 0،4}، ___، { displaystyle 12،16،20)… ابدأ بطرح { displaystyle 4-0} لمعرفة الفرق في 4. أكد ذلك بالتطبيق على السلسلتين الأخريين ، على سبيل المثال { displaystyle 16-12}، ستجد مرة أخرى أن الفرق هو 4 ، لذا يمكنك المتابعة.

2. 2

   أضف تمييزًا عامًا للمصطلح قبل الفراغ. إنها مثل إضافة حد إلى نهاية متسلسلة. تحديد المصطلح الذي يسبق مسافة مباشرة في سلسلة رقمية ؛ هذا هو “آخر” رقم معروف. أضف تمييزًا عامًا مع هذا المصطلح لإيجاد الرقم الذي يجب أن يملأ الفراغ.[٤]

   • في مثالنا ، { displaystyle 0.4}، ____، { displaystyle 12،16،20}… ، الحد قبل المسافة هو 4 ، والفرق الإجمالي في هذا التسلسل هو أيضًا 4. أضف { displaystyle 4 + 4} لإيجاد 8 ، هذا هو الرقم الذي يجب ملؤه.

3. 3

   اطرح إجمالي الفرق من الحد المجاور للمسافة. اختر طريقة أخرى للتأكد من صحة إجابتك. يجب أن يكون التسلسل الحسابي متسقًا في كلا الاتجاهين. إذا أضفت 4 عند الانتقال من اليسار إلى اليمين ، فعند التحرك في الاتجاه المعاكس – من اليمين إلى اليسار – ستفعل العكس وتطرح 4.

   • في مثالنا ، { displaystyle 0.4}، ___، { displaystyle 12،16،20)… ، الحد الذي يلي الفراغ مباشرة هو 12. اطرح الفرق الكلي 4 من هذا الحد لإيجاد { displaystyle 12-4 = 8}، وهي النتيجة التي ترميها في الفراغ.

4. أربعة

   قارن نتائجك. يجب أن تكون نتيجة الجمع من الأسفل هي نفسها نتيجة الطرح من الأعلى ، ثم تجد قيمة الحد المفقود. إذا لم تكن النتائج متطابقة ، فأنت بحاجة إلى التحقق من حسابك. لا يمكن أن تكون سلسلة الأرقام تسلسلًا حسابيًا حقيقيًا.

   • في المثال السابق النتيجة هي { displaystyle 4 + 4} و { displaystyle 12-4) يساوي 8 ، وبالتالي فإن الحد المفقود في هذه المتتابعة الحسابية هو 8. السلسلة بأكملها تساوي { displaystyle 0،4،8،12،16،20}…

الطريقة الثالثة

أوجد الحد النوني في متتالية حسابية

1. واحد

   انظر إلى الحد الأول في التسلسل. لا تبدأ كل التسلسلات بالأرقام 0 أو 1 ، لذا انظر إلى قائمة الأرقام وحدد مصطلحها الأول. هذا الرقم هو نقطة بداية يمكن تمثيلها باستخدام متغير مثل (1).

   • عند العمل مع المتواليات الحسابية ، عادة ما يستخدم المتغير a (1) لتمثيل المصطلح الأول. بالطبع يمكنك اختيار أي متغير تريده ويجب أن تكون النتائج متطابقة.
   • على سبيل المثال ، بالنظر إلى التسلسل ( displaystyle 3،8،13،18)… ، المصطلح الأول هو { displaystyle 3}، والتي يمكن تمثيلها جبريًا على أنها (1).

2. 2

   رمز التمييز العام بحرف d. أوجد فرق التسلسل الكلي بالطريقة المذكورة في الجزأين 1 و 2. في المثال المستخدم هنا ، يكون الفرق الإجمالي هو { displaystyle 8-3}، بمعنى آخر. 5. تأكد من أن طرح الحدود الأخرى في السلسلة يعطي نفس النتيجة. سوف نشير إلى هذا الاختلاف العام باستخدام المتغير الجبري د.

3. 3

   استخدم صيغة صريحة. الصيغة الصريحة هي معادلة جبرية يمكن استخدامها لإيجاد أي حد في متتالية حسابية دون الحاجة إلى كتابة السلسلة بأكملها. صيغة صريحة لتسلسل جبري: { displaystyle a (n) = a (1) + (n-1) d)…

   • يمكن قراءة المصطلح a (n) على أنه “المصطلح n ‘n’ من a” ، حيث يمثل n أي رقم تريد العثور عليه في التسلسل و a (n) هو القيمة الفعلية لهذا الرقم. على سبيل المثال: إذا طُلب منك العثور على العنصر رقم 100 في تسلسل حسابي ، فسيكون n 100. لاحظ أنه في هذا المثال ، n تساوي 100 ، لكن (n) ستكون قيمة الحد 100 ، وليس 100 نفسها.

4. أربعة

   أدخل التفاصيل الخاصة بك لحل المشكلة. باستخدام صيغة تسلسل صريحة ، أضف المعلومات المعروفة للعثور على المصطلح الذي تريده.

   • في مثالنا ، هنا { displaystyle 3،8،13،18}… ، نعلم أن a (1) هو الحد الأول من 3 ، والفرق الكلي d هو 5. لنفترض أنك مطالب بحساب الحد المائة في هذه المتتالية. لذلك ، n = 100 و (n-1) = 99. الصيغة الصريحة الكاملة بعد إدخال بيانات المتغيرات هي { displaystyle a (100) = 3 + (99) (5)}… وبالتالي ، فإن نتيجة هذا التبسيط هي 498 ، وهو الحد المائة من هذا التسلسل.